Задача
GEO-B3-M01-P002 Подобие обратных треугольников
При инверсии с центром \(O\) точки \(A\) и \(B\) переходят в \(A^*\) и \(B^*\). Докажите, что \(\angle OAB=\angle OB^*A^*\).
Подсказка 1. Сравните отношения \(OA:OB\) и \(OB^*:OA^*\).
Подсказка 2. Докажите подобие \(\triangle OAB\) и \(\triangle OB^*A^*\).
E. Подробное решение. Пусть радиус инверсии равен \(R\). Тогда \(OA\cdot OA^*=OB\cdot OB^*=R^2\). Отсюда \(\frac{OA}{OB}=\frac{OB^*}{OA^*}\). Кроме того, лучи \(OA\) и \(OA^*\) совпадают, а лучи \(OB\) и \(OB^*\) совпадают, поэтому \(\angle AOB=\angle B^*OA^*\). По признаку подобия \(SAS\) получаем \(\triangle OAB\sim\triangle OB^*A^*\). Следовательно, соответствующие углы равны: \(\angle OAB=\angle OB^*A^*\).
Это маленькая, но важная лемма: она объясняет, почему инверсия сохраняет углы и почему в решениях постоянно появляются обратные порядки вершин.