Задача
GEO-B3-M01-P004 Окружность через центр
Окружность \(\omega\) проходит через центр инверсии \(O\). Прямая \(OO_1\), где \(O_1\) — центр \(\omega\), вторично пересекает \(\omega\) в точке \(A\). Докажите, что образ \(\omega\) — прямая, перпендикулярная \(OA\) и проходящая через \(A^*\).
Подсказка 1. Для точки \(M\in\omega\) угол \(OMA\) прямой.
Подсказка 2. Инверсия обратна сама себе: используйте результат про образ прямой.
E. Подробное решение. Так как \(OA\) — диаметр окружности \(\omega\), для любой точки \(M\in\omega\) имеем \(\angle OMA=90^\circ\). При инверсии точки \(M\) переходят в точки \(M^*\) на лучах \(OM\). Условие \(\angle OMA=90^\circ\) после подобия обратных треугольников означает, что \(M^*\) лежит на прямой через \(A^*\), перпендикулярной \(OA\). Обратное включение следует из обратимости инверсии.
Это обратная к предыдущей задача; важно видеть обе стороны преобразования.