Задача
GEO-B3-M01-P005 Окружность не через центр
Окружность \(\omega\) не проходит через центр инверсии \(O\). Прямая, соединяющая \(O\) с центром \(\omega\), пересекает \(\omega\) в точках \(A\) и \(B\). Докажите, что образ \(\omega\) — окружность с диаметром \(A^*B^*\).
Подсказка 1. Для любой точки \(M\in\omega\) угол \(AMB\) прямой.
Подсказка 2. Перенесите этот прямой угол на образы.
E. Подробное решение. Точки \(A\) и \(B\) являются концами диаметра окружности \(\omega\), поэтому \(\angle AMB=90^\circ\) для любой точки \(M\in\omega\). По подобию обратных треугольников угол между \(A^*M^*\) и \(B^*M^*\) также прямой. Значит, \(M^*\) лежит на окружности с диаметром \(A^*B^*\). Обратимость инверсии даёт, что вся эта окружность является образом \(\omega\).
Это первая задача, где надо выбрать правильный диаметр исходной окружности.