Задача
GEO-B3-M01-P007 Касание после инверсии
#7
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) касаются в точке \(T\), причём \(T\neq O\). Докажите, что их образы при инверсии с центром \(O\) тоже касаются.
Inspired by Prasolov inversion method
Подсказка 1. Сравните угол между окружностями в точке \(T\).
Подсказка 2. Инверсия сохраняет угол между касательными.
E. Подробное решение. В точке касания окружности имеют общую касательную, то есть угол между ними равен \(0^\circ\). Инверсия сохраняет углы между кривыми, если считать углы между касательными. Точка \(T\) переходит в \(T^*\), а касательные к образам в \(T^*\) образуют тот же угол \(0^\circ\). Следовательно, образы имеют общую касательную в \(T^*\), то есть касаются.
Задача закрепляет важный принцип: инверсия не разрушает касания, если точка касания не является центром.