Задача
GEO-B3-M01-P008 Угол между окружностями
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точке \(P\), отличной от центра инверсии. Докажите, что угол между их образами в точке \(P^*\) равен углу между \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в точке \(P\).
Подсказка 1. Замените окружности их касательными в \(P\).
Подсказка 2. Прямая, касательная к окружности, переходит в кривую, касательная к которой имеет соответствующий угол.
E. Подробное решение. Угол между окружностями определяется как угол между их касательными в точке пересечения. Пусть \(l_1\) и \(l_2\) — касательные к \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в \(P\). Инверсия переводит малые направления около \(P\) в малые направления около \(P^*\) и сохраняет ориентированный угол между ними; это следует из подобия обратных треугольников в предельном положении. Поэтому угол между касательными к образам равен углу между \(l_1\) и \(l_2\).
Это теоретическая задача: она оправдывает все дальнейшие переносы углов через инверсию.