Задача
GEO-B3-M01-P012 Окружность через точку и касание окружности
Даны точки \(A\), \(B\) и окружность \(\omega\), не проходящая через \(A\). Постройте окружность, проходящую через \(A\) и \(B\) и касающуюся \(\omega\).
Подсказка 1. Сделайте инверсию с центром \(A\).
Подсказка 2. После инверсии задача сводится к касательной из точки к окружности.
E. Подробное решение. Инвертируем с центром \(A\). Искомая окружность, проходящая через \(A\), перейдёт в прямую через \(B^*\). Окружность \(\omega\), не проходящая через \(A\), перейдёт в некоторую окружность \(\omega^*\). Касание сохраняется, поэтому образная прямая должна касаться \(\omega^*\). Значит, строим касательные из \(B^*\) к \(\omega^*\) и затем инвертируем их обратно. Образы этих прямых — окружности через \(A\) и \(B\), касающиеся \(\omega\).
Это стандартный пример, где инверсия превращает задачу об окружности в задачу о прямой.