Задача
GEO-B3-M01-P011 Окружность через две точки и касание
Даны точки \(A\), \(B\) и прямая \(l\), не проходящая через \(A\). Постройте окружность, проходящую через \(A\) и \(B\) и касающуюся \(l\). Обоснуйте построение через инверсию.
Подсказка 1. Сделайте инверсию с центром \(A\).
Подсказка 2. Искомая окружность станет прямой через \(B^*\).
E. Подробное решение. Сделаем произвольную инверсию с центром \(A\). Прямая \(l\) перейдёт в окружность \(l^*\), проходящую через \(A\). Искомая окружность проходит через центр инверсии \(A\), значит, её образ — прямая. Так как она проходит через \(B\), эта прямая должна проходить через \(B^*\). Касание с \(l\) после инверсии сохранится, значит, образная прямая должна касаться окружности \(l^*\). Поэтому надо провести из \(B^*\) касательные к \(l^*\), а затем проинвертировать эти прямые обратно. Их образы и будут искомыми окружностями.
Задача не требует выполнять построение циркулем и линейкой до конца; важно увидеть, что условие касания стало обычной касательной из точки.