Задача
GEO-B3-M01-P016 Две окружности в угле
Две окружности касаются обеих сторон угла с вершиной \(A\). Докажите, что прямая, соединяющая их точки касания с одной стороной угла, параллельна прямой, соединяющей их точки касания с другой стороной угла.
Подсказка 1. Центры окружностей лежат на биссектрисе угла.
Подсказка 2. Окружности переводятся друг в друга гомотетией с центром \(A\).
E. Подробное решение. Обе окружности вписаны в один и тот же угол, поэтому их центры лежат на биссектрисе, а сами окружности гомотетичны с центром \(A\). Пусть точки касания первой окружности со сторонами угла — \(X_1,Y_1\), второй — \(X_2,Y_2\). Гомотетия с центром \(A\) переводит первую окружность во вторую и переводит \(X_1\) в \(X_2\), \(Y_1\) в \(Y_2\). Поэтому отрезок \(X_1Y_1\) переходит в \(X_2Y_2\), а соответствующие отрезки при гомотетии параллельны. Значит, \(X_1Y_1\parallel X_2Y_2\).
Эта задача нужна перед более сложными цепочками: после инверсии часто появляются окружности в одном угле.