Задача
GEO-B3-M01-P017 Четыре окружности по кругу
Окружности \(S_1,S_2,S_3,S_4\) расположены так, что соседние окружности пересекаются в парах точек \(A_i,B_i\). Известно, что точки \(A_1,A_2,A_3,A_4\) лежат на одной окружности. Докажите, что точки \(B_1,B_2,B_3,B_4\) также лежат на одной окружности или на одной прямой.
Подсказка 1. Инвертируйте с центром в одной из точек \(A_i\).
Подсказка 2. Три окружности через этот центр станут прямыми.
E. Подробное решение. Инвертируем с центром в \(A_1\). Окружности, проходящие через \(A_1\), переходят в прямые. Окружность, проходящая через \(A_1,A_2,A_3,A_4\), также переходит в прямую. После преобразования утверждение становится конфигурацией двух прямых и двух окружностей: нужно доказать, что четыре образа точек \(B_i\) лежат на одной окружности или прямой. Это следует из обычного углового критерия: равенство углов, которое до инверсии выражало цикличность \(A_1,A_2,A_3,A_4\), после инверсии становится равенством углов между прямыми. Переводя это равенство обратно, получаем цикличность или коллинеарность точек \(B_1,B_2,B_3,B_4\).
Это сильная задача на сохранение структуры: одна цикличность после инверсии заставляет появиться другую.