Задача
GEO-B3-M01-P024 Поризм цепочки
Две непересекающиеся окружности \(R_1\) и \(R_2\) допускают замкнутую цепочку из \(n\) окружностей, каждая из которых касается \(R_1\), \(R_2\) и двух соседних окружностей цепочки. Докажите, что если первую окружность цепочки заменить на любую другую окружность, касающуюся \(R_1\) и \(R_2\) тем же способом, то цепочку снова можно замкнуть за \(n\) шагов.
Подсказка 1. Переведите \(R_1,R_2\) в концентрические окружности.
Подсказка 2. В концентрической модели все окружности цепочки равны.
E. Подробное решение. Существует инверсия с последующей гомотетией, переводящая \(R_1\) и \(R_2\) в концентрические окружности. Касания сохраняются. В области между двумя концентрическими окружностями всякая окружность, касающаяся обеих, имеет один и тот же радиус, поэтому все окружности цепочки становятся равными. Замкнутая цепочка из \(n\) равных окружностей между концентрическими окружностями означает, что переход от одной окружности к следующей соответствует повороту на фиксированный угол \(\varphi\), причём \(n\varphi=360^\circ\). Если начать с любой другой такой окружности, тот же поворот будет строить следующую окружность; через \(n\) шагов полный поворот снова вернёт нас к начальной окружности. Применяя обратное преобразование, получаем утверждение для исходных окружностей.
Это финальная задача базового блока: инверсия не просто упрощает рисунок, а превращает утверждение в симметрию вращения.