Задача
GEO-B3-M01-P023 Контакты цепочки
Окружности \(R_1\) и \(R_2\) касаются в точке \(A\). Окружности \(S_1,\ldots,S_n\) касаются обеих \(R_1,R_2\), причём \(S_i\) касается \(S_{i+1}\) в точке \(T_i\). Докажите, что точки \(T_1,\ldots,T_{n-1}\) лежат на одной окружности, проходящей через \(A\), или на одной прямой.
Подсказка 1. Инвертируйте с центром \(A\).
Подсказка 2. Окружности \(R_1,R_2\) станут параллельными прямыми.
E. Подробное решение. После инверсии с центром \(A\) окружности \(R_1\) и \(R_2\) переходят в параллельные прямые. Каждая окружность \(S_i\), касающаяся обеих, переходит в окружность, касающуюся этих двух параллельных прямых. Поэтому все образы \(S_i^*\) имеют одинаковый радиус, а их центры лежат на средней линии между параллельными прямыми. Если соседние равные окружности касаются, их точки касания лежат на той же средней линии. Значит, точки \(T_i^*\) коллинеарны. Обратный образ прямой, не проходящей через центр инверсии, — окружность через \(A\); если прямая проходит через \(A\), она остаётся прямой. Поэтому исходные точки \(T_i\) лежат на одной окружности через \(A\) или на одной прямой.
Это прямая подготовка к поризмам цепочек окружностей.