Задача
GEO-B3-M02-P001 Двойное отношение на двух секущих
B. Новая оригинальная задача. Из точки \(O\) выходят четыре различные прямые. Они пересекают прямую \(l\), не проходящую через \(O\), в точках \(A,B,C,D\), а прямую \(m\), также не проходящую через \(O\), в точках \(A_1,B_1,C_1,D_1\). Докажите, что \((A B C D)=(A_1 B_1 C_1 D_1)\).
C. Подсказка 1. Не сравнивайте сами длины на разных прямых.
D. Подсказка 2. Выразите двойное отношение через пучок четырёх прямых с центром \(O\).
E. Полное решение.
Обозначим четыре прямые через \(a,b,c,d\). Для любой секущей, не проходящей через \(O\), двойное отношение точек пересечения равно двойному отношению пучка:
\[ (A B C D)=\frac{\sin(a,c)}{\sin(b,c)}:\frac{\sin(a,d)}{\sin(b,d)}. \]
Та же формула получается для точек \(A_1,B_1,C_1,D_1\), потому что углы между прямыми \(a,b,c,d\) не зависят от выбранной секущей. Следовательно, оба двойных отношения равны одному и тому же числу.
Базовая задача на осознание, что двойное отношение принадлежит пучку, а не конкретной секущей.