Задача
GEO-B3-M02-P002 Три фиксированные точки
B. Новая оригинальная задача. Проективное преобразование прямой \(l\) оставляет неподвижными три различные точки \(A,B,C\). Докажите, что оно тождественно.
C. Подсказка 1. Возьмите произвольную точку \(X\) и сравните её с образом.
D. Подсказка 2. Используйте равенство \((A B C X)=(A B C X')\).
E. Полное решение.
Пусть \(X\) - произвольная точка прямой, а \(X'\) - её образ. Так как преобразование проективно, оно сохраняет двойное отношение:
\[ (A B C X)=(A B C X'). \]
При фиксированных различных \(A,B,C\) значение \((A B C T)\) однозначно задаёт точку \(T\) на прямой. Поэтому \(X'=X\). Так как \(X\) была произвольной, все точки прямой неподвижны.
Этот факт дальше используется как “молоток”: сложная композиция проекций часто доказывается тождественной через три фиксированные точки.