Задача
GEO-B3-M02-P004 Исключительная прямая и параллельность
B. Новая оригинальная задача. Проективное преобразование плоскости переводит прямую \(s\) в бесконечно удалённую прямую. Пусть две обычные прямые \(a\) и \(b\) пересекаются в точке \(T\in s\). Докажите, что их образы параллельны. Докажите также обратное: если образы двух прямых параллельны, то точка пересечения исходных прямых лежит на \(s\).
C. Подсказка 1. Вспомните, что пересечение прямых переходит в пересечение их образов.
D. Подсказка 2. Параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке.
E. Полное решение.
Так как \(T=a\cap b\), образ \(T'\) является пересечением образов \(a'\) и \(b'\). Но \(T\in s\), а \(s\) переходит в бесконечно удалённую прямую, значит \(T'\) - бесконечно удалённая точка. Две обычные прямые, пересекающиеся в бесконечно удалённой точке, параллельны. Поэтому \(a'\parallel b'\).
Обратно, если \(a'\parallel b'\), то их точка пересечения является бесконечно удалённой. Прообраз этой точки лежит на прообразе бесконечно удалённой прямой, то есть на \(s\). Следовательно, \(a\cap b\in s\).
Эта задача нужна для дальнейших нормализаций: “отправить прямую на бесконечность” означает заменить пересечения на ней параллельностями.