Задача
GEO-B3-M02-P003 Дробно-линейная проверка
B. Новая оригинальная задача. На проективной прямой задано преобразование \(f(x)=\frac{2x-1}{x+3}\). Найдите образы точек \(0\), \(1\), \(\infty\) и \(-3\), а затем докажите, что \(f\) сохраняет двойное отношение любых четырёх точек, где выражения определены.
C. Подсказка 1. Сначала вычислите специальные значения, включая точку, где знаменатель равен нулю.
D. Подсказка 2. Для сохранения двойного отношения сравните \(f(x_i)-f(x_j)\).
E. Полное решение.
Имеем \(f(0)=-\frac{1}{3}\), \(f(1)=\frac{1}{4}\). При \(x=\infty\) образ равен отношению старших коэффициентов, то есть \(2\). При \(x=-3\) знаменатель обращается в ноль, поэтому \(f(-3)=\infty\).
Для любых \(x_i,x_j\) вычислим:
\[ f(x_i)-f(x_j)=\frac{(2x_i-1)(x_j+3)-(2x_j-1)(x_i+3)}{(x_i+3)(x_j+3)}=\frac{7(x_i-x_j)}{(x_i+3)(x_j+3)}. \]
При составлении двойного отношения все множители вида \(7\) и \((x_i+3)\) сокращаются. Значит, \((f(x_1)f(x_2)f(x_3)f(x_4))=(x_1x_2x_3x_4)\).
Хорошая короткая задача, чтобы связать координатную формулу с геометрическим термином “проективность”.