Задача
GEO-B3-M02-P006 Композиция двух проекций
B. Новая оригинальная задача. Прямые \(l,m,n\) попарно различны. Сначала точка \(X\in l\) проектируется из центра \(O\) на прямую \(m\), затем полученная точка проектируется из центра \(P\) на прямую \(n\). Докажите, что полученное отображение \(l\to n\) является проективным.
C. Подсказка 1. Разбейте отображение на два уже известных типа.
D. Подсказка 2. Композиция проективных отображений снова проективна.
E. Полное решение.
Центральное проектирование прямой \(l\) на прямую \(m\) из центра \(O\) является проективным отображением. Аналогично, центральное проектирование \(m\to n\) из центра \(P\) тоже проективно.
Полученное отображение \(l\to n\) есть композиция этих двух отображений. По определению и основным свойствам проективных отображений композиция проективных отображений снова проективна.
Задача готовит к более сложным композициям: окружность - прямая - окружность - прямая.