Задача
GEO-B3-M02-P007 Дезарг: прямое утверждение
B. Новая оригинальная задача. Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) расположены так, что прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в одной точке \(O\). Пусть \(P=AB\cap A_1B_1\), \(Q=BC\cap B_1C_1\), \(R=CA\cap C_1A_1\). Докажите, что \(P,Q,R\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Попробуйте изменить перспективу так, чтобы точка \(O\) ушла на бесконечность.
D. Подсказка 2. В аффинной картинке получится стандартная форма теоремы Дезарга.
E. Полное решение.
Выберем проективное преобразование, которое переводит точку \(O\) в бесконечно удалённую точку. Тогда образы прямых \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) становятся параллельными.
В такой аффинной модели соответствующие вершины двух треугольников лежат на параллельных прямых одного направления. Для этой модели утверждение легко проверяется координатно или через Менелая: пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.
Так как проективное преобразование сохраняет коллинеарность, исходные точки \(P,Q,R\) тоже коллинеарны.
Теорему можно дать как факт модуля, но здесь важно показать проектвную нормализацию: центр перспективы отправляется на бесконечность.