Задача
GEO-B3-M02-P024 Замыкание цепочки проекций
B. Новая оригинальная задача. Даны прямые \(l_1,l_2,\ldots,l_n\) и точки \(O_1,O_2,\ldots,O_n\). Из точки \(X_1\in l_1\) строится цепочка: \(X_{i+1}=O_iX_i\cap l_{i+1}\), где \(l_{n+1}=l_1\). Известно, что для трёх различных начальных точек \(X_1\) цепочка после \(n\) шагов возвращается в исходную точку. Докажите, что это верно для любой начальной точки \(X_1\in l_1\), для которой все построения определены.
C. Подсказка 1. Рассмотрите итоговое отображение прямой \(l_1\) в себя.
D. Подсказка 2. Оно проективно и имеет три неподвижные точки.
E. Полное решение.
Каждый шаг \(X_i\mapsto X_{i+1}\) является центральной проекцией с прямой \(l_i\) на прямую \(l_{i+1}\) из центра \(O_i\). Поэтому каждый шаг задаёт проективное отображение прямых.
Композиция всех \(n\) шагов является проективным преобразованием прямой \(l_1\) в себя. По условию у этого преобразования есть три различные неподвижные точки: именно те три начальные точки, для которых цепочка замыкается.
Проективное преобразование прямой с тремя неподвижными точками тождественно. Следовательно, итоговое отображение возвращает в себя любую точку \(X_1\), для которой все промежуточные проекции определены. Значит, цепочка замыкается для любой такой начальной точки.
Это одна из самых важных олимпиадных схем: “если замкнулось три раза, замкнётся всегда”, когда за процессом стоит проективность прямой.