Задача
GEO-B3-M02-P023 Почему одной линейки мало для середины
B. Новая оригинальная задача. Даны только две точки \(A\) и \(B\). Разрешено пользоваться одной линейкой: проводить прямую через две уже построенные точки и брать пересечение двух уже построенных прямых. Докажите, что не существует универсального построения середины отрезка \(AB\) только такими операциями.
C. Подсказка 1. Проективные преобразования сохраняют прямые и пересечения прямых.
D. Подсказка 2. Найдите проективное преобразование, которое оставляет \(A\) и \(B\) на месте, но двигает середину.
E. Полное решение.
Предположим, что такое построение существует. Выберем проективное преобразование плоскости, которое оставляет точки \(A\) и \(B\) неподвижными, но не оставляет неподвижной середину \(M\) отрезка \(AB\). Такое преобразование существует, потому что проективные преобразования прямой \(AB\) могут фиксировать две точки и двигать третью.
Выполним предполагаемое построение один раз. Затем применим выбранное проективное преобразование ко всем объектам, возникающим на каждом шаге. Так как проективное преобразование переводит прямые в прямые и сохраняет пересечения, второй процесс будет допустимым выполнением той же инструкции из тех же исходных точек \(A,B\).
Но результат второго процесса должен быть образом результата первого, то есть образом точки \(M\), а он не равен \(M\). С другой стороны, универсальная инструкция должна снова дать середину \(AB\), то есть \(M\). Получили противоречие. Следовательно, одной линейкой середину построить нельзя.
Это сильная задача не на построение, а на невозможность построения. Важно, что середина не является проективным понятием.