Задача
GEO-B3-M03-P001 Основная формула поляры
B. Новая оригинальная задача. Из точки \(P\) проведены касательные \(PA\) и \(PB\) к окружности \(\omega(O,R)\). Пусть \(H=AB\cap OP\). Докажите, что \(AB\perp OP\) и \(OP\cdot OH=R^2\).
C. Подсказка 1. Используйте равенство прямоугольных треугольников \(OAP\) и \(OBP\).
D. Подсказка 2. После перпендикулярности примените проекционную формулу в прямоугольном треугольнике.
E. Полное решение.
Треугольники \(OAP\) и \(OBP\) прямоугольные, имеют общую гипотенузу \(OP\) и равные катеты \(OA=OB=R\). Следовательно, они равны, а точки \(A\) и \(B\) симметричны относительно \(OP\). Поэтому \(AB\perp OP\).
В прямоугольном треугольнике \(OAP\) точка \(H\) является основанием высоты из \(A\) на гипотенузу \(OP\). По теореме о катете \(OA^2=OH\cdot OP\). Значит, \(OP\cdot OH=R^2\).
Это базовая задача: после неё удобно вводить поляру не только для внешней точки, но и по формуле.