Задача
GEO-B3-M03-P002 Поляра в координатах
B. Новая оригинальная задача. Для единичной окружности \(x^2+y^2=1\) дана точка \(P(p,q)\), не совпадающая с началом координат. Докажите, что её поляра имеет уравнение \(px+qy=1\).
C. Подсказка 1. Проверьте, что эта прямая перпендикулярна \(OP\).
D. Подсказка 2. Найдите её пересечение с \(OP\) и проверьте произведение расстояний.
E. Полное решение.
Прямая \(px+qy=1\) имеет нормальный вектор \((p,q)\), то есть она перпендикулярна \(OP\). Пусть \(H\) - её пересечение с \(OP\). Тогда \(H=t(p,q)\). Подставляя в уравнение прямой, получаем \(t(p^2+q^2)=1\), значит \(t=\frac{1}{p^2+q^2}\).
Имеем \(OP=\sqrt{p^2+q^2}\), а \(OH=t\sqrt{p^2+q^2}=\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2}}\). Поэтому \(OP\cdot OH=1\), что и задаёт поляру относительно единичной окружности.
Координатная формула нужна как быстрый способ доказывать La Hire и проверять сложные конфигурации.