Задача
GEO-B3-M03-P004 Полюс заданной прямой
B. Новая оригинальная задача. Окружность имеет центр \(O\) и радиус \(R\). Прямая \(l\) не проходит через \(O\). Пусть \(H\) - основание перпендикуляра из \(O\) на \(l\), а точка \(P\) выбрана на прямой \(OH\) так, что \(OP\cdot OH=R^2\). Докажите, что \(l\) является полярой \(P\).
C. Подсказка 1. Поляра точки \(P\) должна быть перпендикулярна \(OP\).
D. Подсказка 2. Она должна пересекать \(OP\) в точке, дающей произведение \(R^2\).
E. Полное решение.
По построению \(l\perp OH\), а так как \(P\) лежит на \(OH\), то \(l\perp OP\). Кроме того, \(H=l\cap OP\) и \(OP\cdot OH=R^2\).
Эти два свойства однозначно задают поляру точки \(P\) относительно окружности \(\omega(O,R)\): она перпендикулярна \(OP\) и пересекает \(OP\) в точке \(H\). Следовательно, \(l\) и есть поляра \(P\).
Полезно подчеркнуть двойственность: у прямой есть полюс, если окружность фиксирована.