Задача
GEO-B3-M03-P005 Общая точка хорд касания
B. Новая оригинальная задача. Прямая \(l\) не пересекает окружность \(\omega\). Из переменной точки \(P\in l\) проводятся две касательные к \(\omega\), касающиеся окружности в \(A\) и \(B\). Докажите, что все прямые \(AB\) проходят через одну фиксированную точку.
C. Подсказка 1. Прямая \(AB\) - поляра точки \(P\).
D. Подсказка 2. Найдите полюс прямой \(l\) и примените La Hire.
E. Полное решение.
Пусть \(X\) - полюс прямой \(l\) относительно окружности \(\omega\). Тогда \(l\) является полярой \(X\).
Для каждой точки \(P\in l\) имеем: \(P\) лежит на поляре \(X\). По теореме Ла Ира \(X\) лежит на поляре \(P\). Но поляра \(P\) - это хорда касания \(AB\). Значит, каждая прямая \(AB\) проходит через одну и ту же точку \(X\).
Это полярная версия классического факта о движущейся точке и хордe касания.