Задача
GEO-B3-M03-P008 Полюс пересечения двух поляр
#8
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
B. Новая оригинальная задача. Относительно окружности \(\omega\) поляры точек \(P\) и \(Q\) пересекаются в точке \(X\). Докажите, что поляра точки \(X\) проходит через \(P\) и \(Q\).
Inspired by Prasolov poles and polars method
C. Подсказка 1. Точка \(X\) лежит на поляре \(P\).
D. Подсказка 2. Примените La Hire дважды.
E. Полное решение.
Так как \(X\) лежит на поляре \(P\), по теореме Ла Ира \(P\) лежит на поляре \(X\). Аналогично, \(X\) лежит на поляре \(Q\), значит \(Q\) лежит на поляре \(X\).
Поляра \(X\) - прямая. Она проходит через две точки \(P\) и \(Q\), следовательно, это прямая \(PQ\).
Это короткая задача, но она закрепляет двойственный переход “пересечение поляр - прямая через полюсы”.