Задача
GEO-B3-M03-P007 Поляра диагональной точки
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности. Пусть \(P=AB\cap CD\), \(Q=AC\cap BD\), \(R=AD\cap BC\). Докажите, что прямая \(QR\) является полярой точки \(P\).
C. Подсказка 1. Для секущих \(PAB\) и \(PCD\) пересечения соответствующих касательных лежат на поляре \(P\).
D. Подсказка 2. Используйте вырожденный Паскаль или известный факт о самополярном диагональном треугольнике.
E. Полное решение.
Пусть касательные в \(A\) и \(B\) пересекаются в \(X\), а касательные в \(C\) и \(D\) - в \(Y\). По предыдущему факту \(X\) и \(Y\) лежат на поляре \(P\), значит поляра \(P\) есть прямая \(XY\).
Применим вырожденный Паскаль к окружности с вершинами \(A,A,C,D,B,B\). Он даёт, что \(X,Y\) и одна из диагональных точек лежат на одной прямой; аналогичный порядок даёт вторую диагональную точку. Поэтому прямая \(XY\) совпадает с \(QR\). Следовательно, \(QR\) - поляра \(P\).
Можно дать этот факт как лемму: диагональный треугольник полного четырёхугольника на окружности самополярен.