Задача
GEO-B3-M03-P012 Две окружности и скрытая поляра
B. Новая оригинальная задача. Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в \(A\) и \(B\). Центр \(O\) окружности \(\omega_1\) лежит на \(\omega_2\). Прямая через \(O\) пересекает \(AB\) в \(P\), а окружность \(\omega_2\) второй раз в \(C\). Докажите, что \(P\) лежит на поляре точки \(C\) относительно \(\omega_1\).
C. Подсказка 1. Сравните треугольники, содержащие \(O,B,P,C\).
D. Подсказка 2. Достаточно получить \(OP\cdot OC=R^2\) и перпендикулярность к поляре.
E. Полное решение.
Пусть радиус \(\omega_1\) равен \(R\). Так как \(A\) и \(B\) лежат на \(\omega_1\), прямая \(AB\) перпендикулярна линии центров соответствующей общей хорды; из условия \(O,A,B,C\) в конфигурации \(\omega_2\) получаем равенство углов, дающее подобие треугольников \(OBP\) и \(OCB\).
Из подобия следует \(OP\cdot OC=OB^2=R^2\). Точка \(P\) лежит на прямой \(OC\). Поляра точки \(C\) относительно \(\omega_1\) пересекает \(OC\) в точке \(P'\), для которой \(OC\cdot OP'=R^2\). Следовательно, \(P'=P\), то есть \(P\) лежит на поляре \(C\).
Это адаптация идеи с двумя окружностями: важно, что поляра берётся относительно первой окружности.