Задача
GEO-B3-M03-P013 Полюс стороны в треугольнике с вписанной окружностью
B. Новая оригинальная задача. Вписанная окружность треугольника \(ABC\) касается сторон \(AB\) и \(AC\) в точках \(F\) и \(E\). Докажите, что прямая \(EF\) является полярой точки \(A\) относительно вписанной окружности. Затем докажите, что если точка \(X\) лежит на \(EF\), то поляра \(X\) проходит через \(A\).
C. Подсказка 1. Стороны \(AB\) и \(AC\) - касательные из точки \(A\).
D. Подсказка 2. После этого примените La Hire к точкам \(A\) и \(X\).
E. Полное решение.
Так как \(AB\) и \(AC\) касаются вписанной окружности в \(F\) и \(E\), прямая \(EF\), соединяющая точки касания двух касательных из \(A\), является полярой точки \(A\).
Если \(X\in EF\), то \(X\) лежит на поляре \(A\). По теореме Ла Ира \(A\) лежит на поляре \(X\). Значит, поляра точки \(X\) проходит через \(A\).
Удобная задача для перехода от абстрактной окружности к треугольникам с касаниями.