Задача
GEO-B3-M03-P015 Локус пересечений касательных
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) фиксирована относительно окружности \(\omega\). Через \(P\) проводятся все секущие, пересекающие \(\omega\) в \(A\) и \(B\). Пусть \(T\) - точка пересечения касательных в \(A\) и \(B\). Докажите, что все такие точки \(T\) лежат на одной прямой, и укажите эту прямую.
C. Подсказка 1. Для каждой секущей \(AB\) точка \(T\) имеет полярой \(AB\).
D. Подсказка 2. Так как \(P\in AB\), примените La Hire.
E. Полное решение.
Для каждой секущей \(AB\) касательные в \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(T\), поляра которой есть \(AB\). Поскольку \(P\in AB\), точка \(P\) лежит на поляре \(T\).
По теореме Ла Ира \(T\) лежит на поляре \(P\). Значит, все точки \(T\) лежат на одной фиксированной прямой - поляре точки \(P\) относительно \(\omega\). Обратно, каждая допустимая точка этой прямой получается из некоторой секущей через \(P\), поэтому это именно искомое геометрическое место в естественной области определения.
Это одна из самых важных формулировок: поляра как ГМТ пересечений касательных.