Задача
GEO-B3-M03-P016 Контактные хорды трёх вершин
B. Новая оригинальная задача. Треугольник \(ABC\) описан около окружности \(\omega\). Для каждой вершины соединены две точки касания сторон, выходящих из этой вершины. Получились три прямые \(a,b,c\). Докажите, что полюсы прямых \(a,b,c\) - это соответственно вершины \(A,B,C\).
C. Подсказка 1. У каждой вершины две стороны являются касательными к \(\omega\).
D. Подсказка 2. Прямая через две точки касания этих касательных - поляра вершины.
E. Полное решение.
Рассмотрим вершину \(A\). Стороны \(AB\) и \(AC\) касаются \(\omega\) в двух точках. Прямая, соединяющая эти точки касания, по определению является полярой точки \(A\). Следовательно, её полюс - \(A\).
Тот же аргумент применим к вершинам \(B\) и \(C\). Поэтому полюсы трёх построенных прямых равны соответственно \(A,B,C\).
Задача кажется простой, но она нужна для дальнейших двойственных доказательств в описанных многоугольниках.