Задача
GEO-B3-M03-P020 Касательная точка на диагональной прямой
B. Новая оригинальная задача. Точки \(A,B,C,D\) лежат на окружности. Касательные в \(A\) и \(D\) пересекаются в \(S\). Пусть \(P=AB\cap CD\), \(Q=AC\cap BD\). Докажите, что точки \(P,Q,S\) лежат на одной прямой.
C. Подсказка 1. Введите третью диагональную точку \(R=AD\cap BC\).
D. Подсказка 2. Прямая \(PQ\) - поляра \(R\), а \(S\) тоже лежит на этой поляре.
E. Полное решение.
Пусть \(R=AD\cap BC\). В полном четырёхугольнике \(ABCD\) поляра \(R\) есть прямая \(PQ\).
С другой стороны, \(R\) лежит на хорде \(AD\), а касательные в \(A\) и \(D\) пересекаются в \(S\). Значит, по факту о секущей и касательных \(S\) лежит на поляре \(R\). Следовательно, \(S\in PQ\), то есть \(P,Q,S\) коллинеарны.
Это важный шаблон для финальных задач: вводится недостающая диагональная точка.