Задача
GEO-B3-M03-P021 Поляра внутренней точки через проективную модель
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) лежит внутри окружности \(\omega(O,R)\), \(P\ne O\). Прямая \(p\) перпендикулярна \(OP\) и пересекает \(OP\) в точке \(H\), для которой \(OP\cdot OH=R^2\). Докажите, что для любой хорды \(AB\), проходящей через \(P\), точка пересечения касательных в \(A\) и \(B\) лежит на \(p\).
C. Подсказка 1. Даже для внутренней точки поляра задаётся той же формулой.
D. Подсказка 2. Примените La Hire к точке пересечения касательных и секущей \(AB\).
E. Полное решение.
По формуле \(OP\cdot OH=R^2\) и перпендикулярности \(p\perp OP\) прямая \(p\) является полярой точки \(P\), хотя из \(P\) нельзя провести реальные касательные.
Пусть хорда \(AB\) проходит через \(P\), а касательные в \(A\) и \(B\) пересекаются в \(T\). Поляра точки \(T\) есть \(AB\). Так как \(P\in AB\), по теореме Ла Ира \(T\) лежит на поляре \(P\), то есть на \(p\). Это верно для любой хорды \(AB\) через \(P\).
Задача важна тем, что убирает ложную привязку поляры только к внешним точкам.