Задача
GEO-B3-M03-P024 Двойственная проверка Паскаля
B. Новая оригинальная задача. Пусть \(A_1,A_2,\ldots,A_6\) - шесть точек окружности \(\omega\), а \(a_i\) - касательная к \(\omega\) в точке \(A_i\). Обозначим \(V_i=a_i\cap a_{i+1}\) по модулю \(6\). Используя полярность, докажите, что если по Паскалю три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника \(A_1A_2\ldots A_6\) лежат на одной прямой, то прямые \(V_1V_4\), \(V_2V_5\), \(V_3V_6\) конкурентны.
C. Подсказка 1. Определите, какие объекты являются полюсами паскалевых точек.
D. Подсказка 2. Коллинеарность трёх точек двойственна конкурентности трёх поляр.
E. Полное решение.
Пусть \(P\) - точка пересечения сторон \(A_1A_2\) и \(A_4A_5\). Поляра \(P\) проходит через полюсы этих двух сторон, то есть через \(V_1=a_1\cap a_2\) и \(V_4=a_4\cap a_5\). Следовательно, поляра \(P\) есть прямая \(V_1V_4\).
Аналогично поляры двух других паскалевых точек равны \(V_2V_5\) и \(V_3V_6\). По Паскалю три паскалевы точки лежат на одной прямой. Полюс этой прямой лежит на полярах всех трёх точек. Значит, прямые \(V_1V_4\), \(V_2V_5\), \(V_3V_6\) проходят через одну точку.
Это финальная задача модуля: она проверяет полную двойственность Паскаля и Брианшона.