Задача
GEO-B3-M03-P023 Семейство касательных из двух движущихся точек
B. Новая оригинальная задача. Окружность \(\omega\), внешняя точка \(P\) и секущая \(PAB\) фиксированы. Касательные в \(A\) и \(B\) пересекаются в \(K\). Через \(P\) проведём произвольную прямую, пересекающую касательные \(KA\) и \(KB\) в точках \(M\) и \(N\). Из \(M\) и \(N\) проведены вторые касательные к \(\omega\), отличные от \(KA\) и \(KB\); они пересекаются в точке \(X\). Докажите, что все точки \(X\) лежат на одной прямой, проходящей через \(K\).
C. Подсказка 1. Отправьте прямую \(KP\) на бесконечность проективным преобразованием, сохраняющим окружность как окружность.
D. Подсказка 2. В новой модели утверждение превращается в симметрию относительно диаметра.
E. Полное решение.
Используем проективное преобразование, которое переводит \(\omega\) в окружность, а прямую \(KP\) - в бесконечно удалённую прямую. Такие преобразования сохраняют касания и инцидентность, поэтому достаточно доказать утверждение в новой модели.
В новой модели образы прямых \(KA\) и \(KB\) параллельны. Точки \(M\) и \(N\), лежащие на одной прямой через образ \(P\) на бесконечности, соответствуют параллельным сечениям между двумя параллельными касательными. Вторые касательные из \(M\) и \(N\) пересекаются в точке \(X'\), которая движется по прямой, параллельной этим касательным и проходящей через образ \(K\). Это следует из симметрии окружности относительно перпендикуляра к двум параллельным касательным.
Возвращаясь обратным проективным преобразованием, получаем, что исходные точки \(X\) лежат на одной прямой, причём эта прямая проходит через \(K\).
Это сильная задача на проективное упрощение полярной конфигурации; её хорошо давать после уверенного владения предыдущими задачами.