Задача
GEO-B3-M04-P002 Педальный треугольник
B. Новая оригинальная задача. Пусть \(A_1,B_1,C_1\) - основания перпендикуляров из точки \(P\) на прямые \(BC,CA,AB\). Докажите, что каждая сторона педального треугольника \(A_1B_1C_1\) является хордой одной из окружностей с диаметрами \(PA,PB,PC\).
C. Подсказка 1. Рассмотрите пары проекций, лежащих на двух сторонах, выходящих из одной вершины.
D. Подсказка 2. Например, \(A_1B_1\) лежит на окружности с диаметром \(PC\).
E. Полное решение.
По предыдущему факту точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(PC\), значит \(A_1B_1\) - хорда этой окружности. Аналогично, \(B_1\) и \(C_1\) лежат на окружности с диаметром \(PA\), а \(C_1\) и \(A_1\) - на окружности с диаметром \(PB\).
Следовательно, все три стороны педального треугольника естественно связаны с окружностями на \(PA,PB,PC\) как на диаметрах.
Хорошо закрепляет симметрию обозначений \(A_1,B_1,C_1\).