Задача
GEO-B3-M04-P005 Прямая Симсона
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\). Пусть \(A_1,B_1,C_1\) - проекции \(P\) на прямые \(BC,CA,AB\). Докажите, что \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны.
C. Подсказка 1. Используйте окружности с диаметрами \(PA,PB,PC\).
D. Подсказка 2. Сравните направленные углы при \(B_1\).
E. Полное решение.
Из прямых углов имеем циклические четырёхугольники \(P,A_1,C,B_1\) и \(P,B_1,A,C_1\). Поэтому \(\angle A_1B_1C=\angle A_1PC\), а \(\angle C_1B_1A=\angle C_1PA\) в направленном смысле.
Так как \(A,B,C,P\) лежат на одной окружности, углы, опирающиеся на соответствующие дуги, дают равенство этих двух направленных углов. Значит, лучи \(B_1A_1\) и \(B_1C_1\) лежат на одной прямой. Следовательно, \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны.
Главная теорема модуля; важно требовать направленные углы.