Задача
GEO-B3-M04-P006 Обратная теорема Симсона
B. Новая оригинальная задача. Для точки \(P\) проекции \(A_1,B_1,C_1\) на прямые \(BC,CA,AB\) треугольника \(ABC\) лежат на одной прямой. Докажите, что \(P\) лежит на описанной окружности \(ABC\).
C. Подсказка 1. Повторите доказательство Симсона в обратном направлении.
D. Подсказка 2. Коллинеарность заменяет равенство углов при \(B_1\).
E. Полное решение.
Как и в прямой теореме, из прямых углов получаем циклические четырёхугольники \(P,A_1,C,B_1\) и \(P,B_1,A,C_1\). Коллинеарность \(A_1,B_1,C_1\) даёт равенство соответствующих направленных углов.
Перенося эти углы на окружности с диаметрами, получаем \(\angle PCA=\angle PBA\). Это критерий цикличности точек \(P,C,A,B\). Следовательно, \(P\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\).
Использовать как критерий: если педальные точки коллинеарны, точка на окружности.