Задача
GEO-B3-M04-P024 Комплексная проверка направления
B. Новая оригинальная задача. Пусть точки \(A,B,C,P\) лежат на единичной окружности комплексной плоскости и имеют комплексные координаты \(a,b,c,p\). Докажите, что направление прямой Симсона точки \(P\) относительно \(ABC\) можно выразить числом, пропорциональным \((p-a)(p-b)(p-c)/p\), и используйте это для объяснения, почему противоположные точки дают перпендикулярные прямые Симсона.
C. Подсказка 1. Запишите формулу проекции точки на прямую через две точки единичной окружности.
D. Подсказка 2. Для противоположной точки \(q=-p\) сравните направление с исходным.
E. Полное решение.
В комплексной плоскости для прямой через две точки \(u,v\) единичной окружности основание перпендикуляра из точки \(p\) можно записать в виде линейного выражения через \(p,u,v\) и их сопряжённые. Так как \(\overline{u}=1/u\), \(\overline{v}=1/v\), формула упрощается до рационального выражения.
Вычитая координаты двух оснований перпендикуляров, например на \(CA\) и \(AB\), получаем направляющее число прямой Симсона. После сокращения оно пропорционально \((p-a)(p-b)(p-c)/p\).
Если заменить \(p\) на противоположную точку \(q=-p\), направляющее число умножается на чисто мнимый множитель. Это означает поворот направления на \(90^\circ\). Следовательно, прямые Симсона противоположных точек перпендикулярны.
Это задача для сильных учеников: она показывает, как комплексные числа сжимают длинную угловую технику.