Задача
GEO-B3-M04-P023 Огибающая прямых Симсона
B. Новая оригинальная задача. Точка \(P\) движется по описанной окружности треугольника \(ABC\). Докажите, что семейство её прямых Симсона имеет огибающую: каждая прямая Симсона касается некоторой фиксированной кривой. Укажите, как строится точка касания через середину \(PH\).
C. Подсказка 1. Используйте факт: прямая Симсона проходит через середину \(PH\).
D. Подсказка 2. При движении \(P\) эта середина движется по окружности девяти точек, а направление линии вращается с половинной скоростью.
E. Полное решение.
Пусть \(M\) - середина \(PH\). Тогда \(M\) лежит на окружности девяти точек и одновременно на прямой Симсона точки \(P\). При малом перемещении \(P\) точка \(M\) движется по окружности девяти точек, а направление прямой Симсона меняется согласованно с направлением касательной к траектории \(M\).
Точка касания огибающей получается как предельное положение пересечения двух близких прямых Симсона. Её можно построить из \(M\): провести через \(M\) прямую Симсона и учесть, что скорость поворота этой прямой равна половине скорости движения \(P\). Полученная огибающая является классической дельтоидой Штейнера.
Для целей модуля важно не название кривой, а механизм: прямая Симсона всегда проходит через точку девятиточечной окружности, но её направление меняется так, что возникает фиксированная огибающая.
Это обзорная задача уровня 5; она готовит к дальнейшим темам о дельтоиде Штейнера.