Задача
GEO-B3-M05-P001 Линия Эйлера
В треугольнике \(ABC\) обозначим через \(O\), \(G\), \(H\) центр описанной окружности, центр масс и ортоцентр. Докажите, что \(O,G,H\) лежат на одной прямой и \(OG:GH=1:2\).
C. Подсказка 1. Возьмите \(O\) за начало координат.
D. Подсказка 2. Докажите сначала, что \(\vec h=\vec a+\vec b+\vec c\) задаёт ортоцентр.
Пусть радиус-векторы \(A,B,C\) равны \(\vec a,\vec b,\vec c\), причём \(|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=R\). Положим \(\vec h=\vec a+\vec b+\vec c\). Тогда \((\vec h-\vec a)\cdot(\vec b-\vec c)=(\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=0\), значит \(AH\perp BC\). Аналогично \(BH\perp CA\) и \(CH\perp AB\), поэтому \(H\) — ортоцентр.
Центр масс имеет радиус-вектор \(\vec g=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}=\frac{\vec h}{3}\). Следовательно, точки \(O,G,H\) лежат на одной прямой, а из \(OG=\frac13 OH\), \(GH=\frac23 OH\) получаем \(OG:GH=1:2\).
Базовый факт модуля; он нужен для всех задач с окружностью девяти точек.