Задача
GEO-B3-M05-P002 Первые шесть точек окружности девяти точек
В остроугольном треугольнике \(ABC\) с ортоцентром \(H\) докажите, что середины сторон и середины отрезков \(AH,BH,CH\) лежат на одной окружности.
C. Подсказка 1. Пусть \(O\) — центр описанной окружности, \(N\) — середина \(OH\).
D. Подсказка 2. Используйте гомотетию с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\), а затем проверьте середины сторон.
Гомотетия с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\) переводит описанную окружность \(ABC\) в окружность с центром \(N\), где \(N\) — середина \(OH\), и радиусом \(\frac R2\). Точки \(A,B,C\) переходят в середины \(AH,BH,CH\), значит эти три точки лежат на новой окружности.
Пусть \(M_a\) — середина \(BC\). В векторной модели из предыдущей задачи \(\vec n=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{2}\), \(\vec m_a=\frac{\vec b+\vec c}{2}\). Тогда \(|\vec m_a-\vec n|=\frac{|\vec a|}{2}=\frac R2\). Аналогично для двух других середин сторон. Следовательно, все шесть точек лежат на одной окружности.
После этого можно добавить основания высот и получить полную окружность девяти точек.