Задача
GEO-B3-M05-P008 Симедиана и антипараллель
В треугольнике \(ABC\) отрезок \(B_1C_1\) с концами на лучах \(AC\) и \(AB\) антипараллелен стороне \(BC\). Докажите, что \(A\)-симедиана проходит через середину \(B_1C_1\).
C. Подсказка 1. Антипараллель означает две пары равных углов.
D. Подсказка 2. Сравните треугольники около \(A\) и примените критерий симедианы.
Пусть \(L\) — середина \(B_1C_1\), а прямая \(AL\) пересекает \(BC\) в \(S\). Из антипараллельности получаем \(\triangle AB_1C_1\sim \triangle ACB\) с противоположной ориентацией. Поэтому отношения расстояний от \(L\) до сторон \(AB\) и \(AC\) выражаются через \(AB\) и \(AC\).
Через площади треугольников \(ABS\) и \(ACS\) получаем \(\frac{BS}{CS}=\frac{AB^2}{AC^2}\). По критерию симедианы \(AS\) является \(A\)-симедианой. Значит, \(A,L,S\) лежат на одной прямой, и симедиана проходит через середину антипараллели.
Полезно для задач, где симедиана не названа, но есть антипараллельный отрезок.