Задача
GEO-B3-M05-P007 Лемуан в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) пусть \(H\) — основание высоты из \(C\) на \(AB\). Докажите, что точка Лемуана \(K\) является серединой \(CH\).
C. Подсказка 1. Поместите \(C\) в начало координат, а катеты на оси.
D. Подсказка 2. Используйте барицентрические координаты \(K=(a^2:b^2:c^2)\).
Пусть \(A=(u,0)\), \(B=(0,v)\), \(C=(0,0)\). Тогда \(a=BC=v\), \(b=CA=u\), \(c^2=AB^2=u^2+v^2\). Точка Лемуана имеет барицентрические координаты \((a^2:b^2:c^2)\), поэтому её декартовы координаты равны \(\left(\frac{uv^2}{2(u^2+v^2)},\frac{u^2v}{2(u^2+v^2)}\right)\).
Основание высоты \(H\) из \(C\) на \(AB\) имеет координаты \(\left(\frac{uv^2}{u^2+v^2},\frac{u^2v}{u^2+v^2}\right)\). Следовательно, координаты \(K\) вдвое меньше координат \(H\), то есть \(K\) — середина \(CH\).
Хорошая задача на перевод симедианной геометрии в координаты.