Задача
GEO-B3-M05-P011 Общая окружность девяти точек
Высоты треугольника \(ABC\) пересекаются в \(H\). Докажите, что треугольники \(ABC\), \(HBC\), \(AHC\) и \(ABH\) имеют одну и ту же окружность девяти точек.
C. Подсказка 1. Сравните наборы середин сторон и оснований высот.
D. Подсказка 2. Например, для \(ABC\) и \(HBC\) уже есть три общие точки окружности.
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(HBC\). Середина \(BC\) является серединой стороны в обоих треугольниках. Середины \(BH\) и \(CH\) являются точками окружности девяти точек обоих треугольников: для \(ABC\) это середины отрезков от ортоцентра к вершинам, а для \(HBC\) — середины сторон.
Три общие точки определяют окружность, значит окружности девяти точек этих двух треугольников совпадают. Аналогично сравниваем \(ABC\) с \(AHC\) и \(ABH\). Следовательно, все четыре окружности совпадают.
Эта задача развивает идею “ортоцентр можно заменить вершиной”.