Задача
GEO-B3-M05-P012 Четыре линии Эйлера
В обозначениях предыдущей задачи докажите, что линии Эйлера треугольников \(ABC\), \(HBC\), \(AHC\), \(ABH\) пересекаются в одной точке.
C. Подсказка 1. Все четыре окружности девяти точек совпадают.
D. Подсказка 2. Линия Эйлера каждого треугольника проходит через центр его окружности девяти точек.
По предыдущей задаче у четырёх треугольников одна и та же окружность девяти точек. Обозначим её центр через \(N\).
В любом треугольнике центр окружности девяти точек лежит на линии Эйлера: он является серединой отрезка между центром описанной окружности и ортоцентром этого треугольника. Поэтому каждая из четырёх линий Эйлера проходит через \(N\). Значит, они пересекаются в одной точке \(N\).
Хорошо давать сразу после задачи об общей окружности девяти точек.