Задача
GEO-B3-M05-P015 Треугольник из вторых пересечений
Пусть \(P\) — первая точка Брокара треугольника \(ABC\): \(\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP\). Прямые \(AP,BP,CP\) повторно пересекают описанную окружность в \(A_1,B_1,C_1\). Докажите, что треугольник \(A_1B_1C_1\) равен треугольнику \(BCA\).
C. Подсказка 1. Переведите равные углы Брокара в равные дуги описанной окружности.
D. Подсказка 2. Сравните дуги, на которые опираются стороны \(A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1\).
Пусть общий угол Брокара равен \(\varphi\). Так как \(A,P,A_1\), \(B,P,B_1\), \(C,P,C_1\) коллинеарны, получаем \(\angle CAA_1=\angle ABB_1=\angle BCC_1=\varphi\). Следовательно, соответствующие ориентированные дуги удовлетворяют \(\widehat{CA_1}=\widehat{AB_1}=\widehat{BC_1}=2\varphi\).
Теперь сравним дуги между новыми точками. При переходе от дуги \(BC\) к дуге \(A_1B_1\) оба конца сдвигаются по окружности на одинаковую ориентированную дугу \(2\varphi\). Поэтому \(\widehat{A_1B_1}=\widehat{BC}\). Аналогично \(\widehat{B_1C_1}=\widehat{CA}\) и \(\widehat{C_1A_1}=\widehat{AB}\). Равные дуги дают равные хорды, значит \(\triangle A_1B_1C_1\cong \triangle BCA\).
Следите за обозначениями: это задача на ориентированные дуги, а не на простое равенство видимых углов.