Задача
GEO-B3-M05-P016 Ограничение на угол Брокара
Пусть \(\varphi\) — угол Брокара треугольника \(ABC\). Используя формулу \(\operatorname{ctg}\varphi=\operatorname{ctg}A+\operatorname{ctg}B+\operatorname{ctg}C\), докажите, что \(\varphi\le 30^\circ\).
C. Подсказка 1. Выразите сумму котангенсов через стороны и площадь.
D. Подсказка 2. Используйте неравенство \(a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt3 S\).
Имеем \(\operatorname{ctg}A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\), и циклически. Складывая, получаем \(\operatorname{ctg}A+\operatorname{ctg}B+\operatorname{ctg}C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\).
По неравенству Вейценбёка \(a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt3 S\). Значит, \(\operatorname{ctg}\varphi\ge \sqrt3\). Так как \(\varphi\) острый, отсюда \(\varphi\le 30^\circ\).
Формулу для угла Брокара можно доказать отдельно через площади; здесь она используется как инструмент.