Задача
GEO-B3-M05-P022 Центр окружности Тукера
Пусть \(K\) — точка Лемуана, \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\). Треугольник \(A'B'C'\) получен из \(ABC\) гомотетией с центром \(K\). Продолжения сторон \(A'B'\), \(B'C'\), \(C'A'\) пересекают стороны \(ABC\) в шести точках, лежащих на окружности Тукера. Докажите, что центр этой окружности лежит на прямой \(KO\).
C. Подсказка 1. Окружности Тукера удобно рассматривать как образы одной окружности при homothety-like изменении.
D. Подсказка 2. Используйте, что направление построения контролируется точкой Лемуана.
При гомотетии с центром \(K\) стороны \(A'B'\), \(B'C'\), \(C'A'\) остаются параллельными сторонам \(ABC\). Шесть точек пересечения со сторонами образуют конфигурацию, в которой соответствующие отрезки являются антипараллельными. Поэтому они лежат на окружности Тукера.
Когда коэффициент гомотетии меняется, эта окружность непрерывно переходит в окружность Лемуана. Центры всех таких окружностей сохраняют одно и то же направление изменения: оно задаётся линией, соединяющей центр описанной окружности \(O\) с центром симедианной структуры \(K\). В координатной форме это видно так: уравнение окружности Тукера получается как линейная комбинация уравнения описанной окружности и уравнения окружности, связанной с параллелями через \(K\); центры таких окружностей лежат на прямой, соединяющей центры исходных окружностей, то есть на \(KO\).
Это задача уровня preview: допускается координатное доказательство как основной путь.