Задача
GEO-B3-M05-P021 Минимальное свойство точки Ферма
Пусть все углы \(ABC\) меньше \(120^\circ\), а \(T\) — точка Ферма. Докажите, что для любой точки \(X\) внутри треугольника выполняется \(XA+XB+XC\ge TA+TB+TC\).
C. Подсказка 1. Поверните один из отрезков \(XB\) на \(60^\circ\).
D. Подсказка 2. Сведите сумму трёх длин к длине ломаной.
Построим внешний правильный треугольник \(BCU\). Для произвольной точки \(X\) повернём отрезок \(XB\) на \(60^\circ\) так, чтобы \(B\) перешла в \(U\); образ точки \(X\) обозначим \(X'\). Тогда \(XB=UX'\), а \(XX'=XB\) и \(\angle BXX'=60^\circ\).
Сумма \(XA+XB+XC\) превращается в длину ломаной, соединяющей фиксированные точки через \(X\) и \(X'\). По неравенству треугольника эта ломаная не меньше соответствующего прямого отрезка. Равенство достигается, когда точки ломаной выстраиваются в одну прямую; это эквивалентно углам \(120^\circ\) в точке \(T\). Следовательно, минимум достигается в точке Ферма.
Это олимпиадная задача на “спрямление” ломаной через поворот.