Задача
GEO-B3-M06-P006 Исправленная проверка trig Ceva
В треугольнике три чевианы образуют при вершинах пары углов \(10^\circ,70^\circ\), \(30^\circ,20^\circ\), \(40^\circ,10^\circ\). Докажите, что эти чевианы конкурентны.
C. Подсказка 1. Примените trig Ceva.
D. Подсказка 2. Докажите \(\sin30^\circ\sin40^\circ=\sin20^\circ\sin70^\circ\).
По trig Ceva достаточно доказать \[ \frac{\sin10^\circ}{\sin70^\circ}\cdot \frac{\sin30^\circ}{\sin20^\circ}\cdot \frac{\sin40^\circ}{\sin10^\circ}=1. \] Сокращаем \(\sin10^\circ\). Остаётся \(\sin30^\circ\sin40^\circ=\sin20^\circ\sin70^\circ\).
Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), \(\sin70^\circ=\cos20^\circ\), правая часть равна \(\sin20^\circ\cos20^\circ=\frac12\sin40^\circ\), что совпадает с левой частью.
Хорошая задача после предыдущей: ученик видит, какие числа действительно работают.