Задача
GEO-B3-M06-P009 Косинусная форма проекции
#9
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В треугольнике \(ABC\) докажите равенство \(BC=AB\cos B+AC\cos C\).
Inspired by Prasolov trigonometric geometry method
C. Подсказка 1. Опустите высоту из \(A\) на \(BC\).
D. Подсказка 2. Разбейте сторону \(BC\) на две проекции.
Пусть \(D\) — основание высоты из \(A\) на \(BC\). Тогда \(BD=AB\cos B\), если \(D\) лежит на отрезке \(BC\); в тупоугольном случае равенство понимается с ориентированными проекциями.
Аналогично \(DC=AC\cos C\). Складывая проекции на прямую \(BC\), получаем \(BC=AB\cos B+AC\cos C\).
Это простое равенство часто заменяет громоздкую теорему косинусов.